概率与统计卷序

中学该不该教概率与统计似乎是有分歧的，不赞同讲授概率统计的人无非出于两个原因：一是中学的概率统计内容不太好处理，仅就几何概型而论就存在许多问题；二是很多中学教师自身就没学过概率统计，过去大学数学专业的概率内容一般是作为必修课开设的，但统计则是作为选修课，教师自身都不熟悉的内容，如何教会学生？不过该不该教不在本书的讨论范围内，我们的目的是在既定的课程标准与教材内容基础上尽可能将相关内容做一番梳理，为一线教师们提供一点力所能及的帮助。

从教材的编写看，我们觉得有些方面有进一步完善与改进的空间。高中概率、统计分别安排在教材必修3与选修2-3中，从内容的编排看，也许将统计放在概率之后更便于处理。虽然从大的方面看，统计通常分为数理统计与社会统计两个分支，但作为数学课程的一部分，可能侧重于概率基础上的数理统计更合适一些。而且先介绍概率，统计部分的一些概念也更方便与概率相统一，例如概率中的样本空间与统计中的总体是什么关系？样本空间中的样本点与总体中的样本又是什么关系？这些问题可能在先介绍概率之后更容易阐述清楚。至于是将统计放在选修部分还是按照现有的必修与选修内容将统计调整至概率之后倒也无可无不可。

概率与统计进一步完善的第二个方面是内容的陈述应尽可能科学，例如将随机变量与函数做类比是不合适的，随机变量是现实到数量的数学化过程，函数则是两个经过数学化后的变量之间的数量关系。映射如同集合一样是个十分宽泛的概念，以映射作为两个概念的共性做类比不仅可能掩盖了概念内在的本质，还容易让人对概念的内涵产生错误的理解。如果学生能理解随机变量，那么对分布函数的理解就不会感到太困难，随机变量的引入正是为了建立分布函数，通过分布函数来描述随机现象的概率分布，如果不需要引入分布函数概念，随机变量就不是必须的。连续型分布函数的由来也有值得斟酌之处，中学阶段虽然介绍导数与积分概念，但并没有介绍极限概念，以频率分布直方图的极限定义连续型分布可能会让没有学习过极限的中学生感到茫然。事实上，频率分布直方图一旦发生变化，就意味着离散的概率分布在发生变化，换句话说，连续的概率分布是离散概率分布的极限，这让对通常的函数极限都一无所知的中学生如何理解一个离散概率分布的极限？一些重要概念或公式最好尽可能阐述清楚，不加解释地直接给出概念和公式除了让学生机械套用，恐怕很难真正学以致用，假以时日，这些概念与公式慢慢就淡忘了，更不用说运用其思想方法去解决问题。例如，关于χ2检验就存在这个问题，教材不加解释直接给出了公式，这个公式在说什么？为什么要用观察频数与期望频数差的平方去比期望频数？它为什么比根据列联表中四个数据得到的绝对值|ad-bc|更能说明两个分类变量之间的相关性？此外，概念与定理的陈述最好还是按照传统的方式以“定义：…”“定理：…”等方式呈现，既符合传统习惯，也可以起到对概念、定理的强调作用。

本卷的目的是对高中涉及的概率与统计内容做一个梳理，希望由此弄清楚一些概念、定理的来龙去脉，揭示出蕴含在其中的思想方法，指出了教材中一些值得改进的地方，同时通过案例的形式对概率统计的大部分内容给出了教学建议，方便一线教师的实际教学，尤其是针对教材中值得斟酌的一些内容给出了建设性意见。这些案例并非中学传统意义上的标准教案，但可以作为教师设计教案的参考。

最后一章以科普的方式介绍了实分析的基础知识，从勒贝格测度到抽象测度都做了简要介绍，特别是对有界变差函数以及有界变差函数与分布函数的关系做了比较透彻的分析。虽然中学教材没有介绍分布函数，但作为教师，如果只知道随机变量，不知道分布函数，恐怕无法理解为什么要引入随机变量。通过有界变差函数的若尔当分解与勒贝格分解可以看出分布函数恰好是单调递增的绝对连续函数与单调递增的奇异函数之和，分布函数这一结构性结论对于理解分布函数的本质是至关重要的。

需要说明的是，书中很多图片并非我们首创，乃是通过各种渠道收集而来，在此对原作者表示感谢！本书很多观点与建议纯属个人陋见，正确与否有待实践的进一步检验，欢迎广大一线教师及专家们提出宝贵意见。