等腰三角形的性质定理(等腰三角形的性质和判定)

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角。等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

1.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．

等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴，注意不能说顶角的平分线、底边上的高线是对称轴。

例题1：如图，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于点E.求证：AD＝2BE.

分析：由角边角证明△AME≌△BAE得BE=ME，BM=2BE，再证明△ACD≌△BCM得AD=BM，等量代换证明AD=2BE。有角平分线+高线，通过三线合一可得到中线，但是在解答题中最好不要直接使用，利用全等三角形进行证明。

本题综合考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形中两锐角互余，等角（或同角）的余角相等，全等三角形的判定与性质，等量代换、三线合一等相关知识点，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点作辅线构建三角形证明全等。

2.等腰三角形的判定

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理。

例题2：如图，△ABC中，∠C=2∠A，BD平分∠ABC交AC于D，求证：AB=CD+BC．

方法一：先在AB上取BE=BC，根据SAS证出△CBD≌△EBD，得出CD=ED，∠C=∠BED，再证明∠A=∠ADE，得出AE=DE=CD，最后根据AB=BE+AE，即可得出答案；

在前面的文章中，我们讲过，遇到a+b=c这种类型的题目，首先想一下能不能利用截长补短法解决问题，如果不能的话，再去想其它的方法。

方法二：先延长BC至F，使CF=CD，得出∠F=∠CDF，再利用AAS证出△ABD≌△FBD，得出AB=BF，最后根据BF=BC+CF=BC+CD，即可得出答案．

此题考查了等腰三角形的判定与性质，用到的知识点是三角形的外角、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，关键是作出辅助线，构造全等三角形．

3.操作题

（1）操作实践：△ABC中，∠A=90°，∠B=22.5°，请画出一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分割方法）

（2）分类探究：△ABC中，最小内角∠B=24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出△ABC最大内角的所有可能值；

（3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？（请你至少写出两个条件，无需证明）

第1问：按要求画图（作AB的中垂线或作BC的中垂线）即可；

第2问：在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把24°的三角形分成两个等腰三角形的各种情形，一共有4种情况，分别画图即可；

图1的最大角=39°+78°=117°，

图2的最大角=24°+180°-2×48°=108°，

图3的最大角=24°+66°=90°，

图4的最大角=84°，

故△ABC的最大内角可能值是117°或108°或90°或84°；

（3）若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，应满足下列条件之一：

①该三角形是直角三角形；

②该三角形有一个角是最小角的2倍；③该三角形有一个角是最小角的3倍．

此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”等数学思想，有难度。